Autor: Joan Gómez
- Tłumaczenie: Hanna Saeki
Tytuł oryginału: Cuando las rectas se vuelven curvas. Las geometrías no euclideas
Seria/cykl wydawniczy: Świat jest matematyczny
Wydawnictwo: RBA
Data wydania: 2012
ISBN 978-83-473-7489-2 - Wydanie: papierowe
Oprawa: twarda z obwolutą
Liczba stron: 151
Geometria jest sztuką wyciągania prawidłowych wniosków ze źle sporządzonych rysunków.
Niels Abel
Jak mierzymy odległości? Żeby sprawdzić, ile centymetrów ma długopis, przyłożymy do niego linijkę; długość sukienki zmierzymy miarą krawiecką, zwaną też centymetrem; odległość z domu do pracy natomiast… No właśnie. Nie możemy zmierzyć jej w linii prostej; trzeba przecież uwzględnić chociażby kształt ulic… I tak oto – nieświadomie – używamy na co dzień sposobu mierzenia odległości zupełnie innego od tego znanego nam ze szkoły. Mówiąc, jak daleko z Krakowa do Torunia, mamy bowiem na myśli nie odległość euklidesową (czyli tę w linii prostej), a długość faktycznie przebytej drogi. Jak zmierzymy odległości w Nowym Jorku, w którym ulice tworzą kratę? A na pustyni, gdzie trasa musi uwzględniać miejsca z wodą? A w buszu, gdzie są już wykarczowane pewne drogi, a inne jeszcze nie?
Matematyk powie, że w różnych przypadkach posłużymy się różnymi metrykami. To pojęcie określa, w jaki sposób w danej przestrzeni mierzymy odległości. Ma spore znaczenie w praktyce (na przykład w systemach GPS). Ale ciekawe są nie tylko jego zastosowania, a i ono samo. Czy koło może mieć kształt kwadratu? Albo „latawca z ogonkiem”? Okazuje się, że – tak!
Tematykę metryk i związanych z nimi różnych geometrii porusza w książce Tam, gdzie proste są krzywe. Geometrie nieeuklidesowe Joan Gomez. Przeczytamy w niej o zmaganiach z piątym aksjomatem Euklidesa (który można wypowiedzieć na przykład tak: Przez punkt na zewnątrz linii prostej przechodzi dokładnie jedna prosta równoległa do niej). Dowiemy się, jak próbowano wykazać, że jest prawdziwy, jak inaczej można go wypowiedzieć, i wreszcie… przekonamy się, że nie musi on być spełniony! Poznamy podstawowe założenia geometrii hiperbolicznej (zaproponowanej przez Mikołaja Łobaczewskiego i Janosa Bolayia) oraz eliptycznej (zaprezentowanej przez Bernharda Riemanna). Dowiemy się, co mają z nimi wspólnego GoogleEarth, GPS i kamery w muzeach. Przekonamy się, że można wyliczyć całkiem dobre przybliżenie liczby pi, rzucając igłą na podłogę z desek. Zobaczymy, że w metryce taksówkowej koło naprawdę ma kształt kwadratu. Poznamy geometrie, w których suma kątów w trójkącie jest mniejsza lub większa niż 180º. Jak to możliwe? W geometrii euklidesowej (tej znanej ze szkoły) fakt, że suma kątów w trójkącie wynosi 180º, wynika z piątego aksjomatu Euklidesa. A jak już wiemy, wcale nie musi on zachodzić…
Tematyka metryk i geometrii nieeuklidesowych jest bardzo wdzięczna. Przy okazji świetnie pokazuje, jak bardzo matematyka szkolna zakorzeniona jest w starożytności – niespotykane w szkole geometrie nieeuklidesowe znane są bowiem już od dwustu lat… Autor ciekawie dobrał prezentowane zagadnienia, dobrze je uporządkował i całkiem nieźle przedstawił. Lektura jest ciekawa. Nie do końca jednak zostało przemyślane grono odbiorców: na przykład w pierwszym rozdziale autor podaje bez objaśnień wzory na odległość dwóch punktów na płaszczyźnie w metryce euklidesowej i miejskiej (a są one naprawdę mało intuicyjne), ale tłumaczy, czym jest pojawiająca się w nich wartość bezwzględna. Intuicji w książce jest sporo, ale akurat przy wprowadzaniu precyzyjnych matematycznych pojęć i wzorów ich brakuje. Na przykład metryka wprowadzona jest jako funkcja spełniająca warunki: 1. d(A,B) >= 0 i z równości d(A,B) = 0 wynika, że A = B; 2. d(A,B) = d(B,A); 3. d(A,B) + d(B,C) >= d(A,C) (s. 17). Uff. Tymczasem można było to opisać na przykład mniej więcej tak: Metryka mówi o tym, w jaki sposób mierzymy odległość. Żeby miała sens, muszą być spełnione trzy warunki. Po pierwsze długość (odległość) nie można być mniejsza od zera. A jeśli odległość, którą pokonaliśmy, jest równa zeru, to nigdzie się nie ruszyliśmy. Po drugie odległość między dwoma miejscami jest taka sama, nieważne, w którą stronę się poruszamy: z miejsca A do miejsca B mamy do pokonania taką samą odległość, jak w drugą stronę, z B do A. I wreszcie warunek trzeci, który możemy wyobrazić sobie tak: jeśli po drodze z pracy do domu wstąpimy do baru, to pokonamy co najmniej taką samą drogę, jak gdybyśmy poszli do domu bezpośrednio. Zazwyczaj droga będzie dłuższa; może się jednak zdarzyć, że bar będzie po drodze – wtedy odległość będzie taka sama (choć oczywiście powrót zajmie o wiele więcej czasu!).
Książkę wydano w twardej oprawie, na – jak w całej serii – niezbyt dobrej jakości papierze, co znacznie zmniejszyło czytelność ilustracji. Nieco niestaranna była adiustacja – tak pod względem merytorycznym, jak i językowym. Tam, gdzie proste są krzywe to zdecydowanie jedna całość, do czytania po kolei, więc na przykład dwukrotne wprowadzanie pojęcia silni uważam za bezsensowne. Te drobne niedoskonałości nie psują jednak ogólnego, jednoznacznie pozytywnego wrażenia: to ciekawa i warta przeczytania lektura.
