Autorrzy: Ian Stewart i David Tall
-
Tłumaczenie: Urszula i Mariusz Seweryńscy
Tytuł oryginału: The Foundations of Mathematics
Wydawnictwo: Prószyński i S-ka
Data wydania: 2017
ISBN 978-83-8097-125-7 -
Wydanie: papierowe
Oprawa: miękka
Liczba stron: 560
Książka „Podstawy matematyki” pozwoli zajrzeć w świat myślenia matematycznego, w którym definicje formalne i dowody prowadzą ku zdumiewającym, nowym sposobom definiowania, dowodzenia, obrazowania i zapisu symbolicznego matematyki, dalece wykraczającym poza nasze oczekiwania. Innymi słowy, „Podstawy matematyki” to podręcznik inny niż wszystkie, napisany przez mistrza – Iana Stewarta.
Niniejsza książka przeznaczona jest dla czytelników, którzy pragną przejść od matematyki szkolnej do w pełni rozwiniętego stylu rozumowania matematyków zawodowych. Jest przeznaczona zarówno dla uczniów szkół średnich, rozważających pogłębianie wiedzy matematycznej, studentów pierwszych lat uniwersytetów i uczelni technicznych, jak i dla wszystkich osób poszukujących wglądu w fundamentalne idee i procesy myślowe matematyków.
Prezentowane w niej formalne podejście do matematyki budowane jest jako naturalna konsekwencja leżących u jej podstaw pojęć oraz idei. Poruszane w niej tematy obejmują: naturę myślenia matematycznego, przegląd intuicyjnego rozwoju takich pojęć, jak zbiory, relacje, funkcje, wprowadzenie do logiki w postaci praktykowanej przez matematyków, metody dowodzenia (łącznie z analizą sposobu zapisywania dowodu matematycznego), rozwój aksjomatycznych systemów liczbowych, poczynając od liczb naturalnych po konstrukcje liczb rzeczywistych i zespolonych, liczby kardynalne.z opisu wydawnictwa
Matematyka jest uważana przez większość uczniów za trudny przedmiot. Łatwo więc sobie wyobrazić, co dzieje się na studiach, gdy okazuje się, że ta matematyka szkolna, polegająca na liczeniu, trudna wcale nie była, a prawdziwa matematyka to definicje, twierdzenia, dowody – większość studentów czuje się mocno zagubiona. Bo też to niełatwe przejście – od matematyki szkolnej do matematyki wyższej, prawdziwej…
Sytuacji nie ułatwiają podręczniki akademickie, pisane uczelnianym stylem i językiem. Oczywiście, do takich książek student matematyki będzie musiał przejść, i to jest dobre i słuszne. Mamy jednak obecnie do czynienia z pewną przepaścią. Podręczniki do szkoły średniej coraz bardziej przypominają podręczniki dla dzieci (kolorki, obrazki, ułatwienia – dla mnie koszmar!); podręczniki akademickie – stoją w miejscu. Zdecydowanie łatwiej było wziąć do ręki książkę dotyczącą wstępu do analizy matematycznej uczniowi lat 80. lub 90. niż komuś, kto korzystał przez całą edukację szkolną z udziecinnionych podręczników.
Niektórzy studenci radzą sobie z tym bez kłopotów. Większość jednak szuka czegoś, co wytłumaczyłoby im padające na wykładach pojęcia, cytuję moich znajomych ze studiów, „na chłopski rozum”, „powoli”, „z przykładami”, „z wyjaśnieniem, co jest ważne, a co nie”. Oczywiście, wykładowcy to tłumaczą. Bądźmy jednak realistami – zawsze nie wszystko zdąży się zanotować, zawsze na moment rozproszy się uwagę, zawsze przy przeglądaniu notatek w domu okaże się, że coś jednak nie jest do końca jasne. Wiele osób chciałoby już przed studiami zmierzyć się z prawdziwą, nieszkolną matematyką, żeby się z nią nieco oswoić – a wówczas klasyczne podręczniki akademickie stają się zazwyczaj już zupełnie kosmiczne.
Potrzeba zatem książki: książki spokojnie, powoli, prosto wprowadzającej pojęcia pojawiające się na pierwszych wykładach ze wstępu do matematyki (zwanego też wstępem do logiki i teorii mnogości), wstępu do analizy matematycznej oraz wstępu do algebry (zwanego też po prostu algebrą liniową). Książki, w której autorzy poświęcają sporo miejsca tłumaczeniu pojęć, mówieniu, co w definicji jest ważne (i dlaczego), podają liczne przykłady i kontrprzykłady. Książki, którą mógłby przeczytać ktoś, kto dopiero rozpocznie studia lub zagubiony student podczas pierwszych dni edukacji akademickiej. A może też zagubiony student innych kierunków, na których o matematyce mowa.
Taką właśnie książką są Podstawy matematyki. Iana Stewarta żadnemu miłośnikowi książek popularnonaukowych z matematyki przedstawiać nie trzeba (natomiast warto wyraźnie zaznaczyć, że ta książka ściśle popularnonaukową nie jest – różni się zdecydowanie od innych książek tego autora). Tym, którzy z takimi lekturami do tej pory nie mieli do czynienia, powiem krótko: zachęcam, gorąco zachęcam, niezależnie od tego, jak bliski kontakt miało się z matematyką do tej pory (nawet, jeśli wcale bliski nie był). Drugi autor to David Tall – teoretyk nauczania matematyki. Duet ten okazał się do tego zadania idealny.
Podstawy matematyki to, jak czytamy na okładce, książka przeznaczona dla czytelników, którzy pragną przejść od matematyki szkolnej do w pełni rozwiniętego sposobu rozumowania matematyków zawodowych.To przejście trudne. Jak piszą autorzy: Z punktu widzenia psychologii podejście czysto formalne, nawet przy odrobinie swobody, jest niewłaściwe dla początkujących, ponieważ nie uwzględnia specyfiki procesu uczenia się. Podkreślam – nie mam nic przeciwko formalnemu podejściu do matematyki. Wręcz przeciwnie! Ba, na wyższym poziomie bez formalizmu matematyki uprawiać się po prostu nie da (a im bardziej matematyka jest abstrakcyjna, tym jest piękniejsza). W pełni jednak zgadzam się z tym, że dla początkujących trudna będzie już sama treść – między matematyką szkolną a uniwersytecką jest przepaść – a różnica w formie sprawi dodatkową trudność.
Książka składa się z pięciu części oraz dodatku. Część pierwsza to Intuicyjna podbudowa – zastanawiamy się wspólnie z autorami, jak można wykorzystać doświadczenia wyniesione z nauki matematyki w szkole do stworzenia bazy dla bardziej wyrafinowanego podejścia logicznego, które precyzyjnie ujmuje strukturę systemów matematycznych. Staramy się zmienić sposób myślenia – ze szkolnego na akademicki. Na nowo przeanalizujemy też zbiory liczbowe (na nowo – i powoli; są też tak cenne wyjaśnienia jak ε to epsilon, litera alfabetu greckiego odpowiadają literze „e” czy Symbol n →∞”, który czytamy „n dąży do nieskończoności”. Tym, którym takie wyjaśnienia wydają się zbędne, powiem, że studenci zaskakująco często wstydzą się spytać, jak coś się czyta…). Lekko i jakby mimochodem zostaną wprowadzone takie pojęcia, jak zbieżność czy zupełność.
Część druga to Początki formalizmu – będziemy w nich dopuszczać możliwość korzystania z naszych intuicyjnych pomysłów, ale już tylko w roli czynnika motywującego wprowadzanie pojęć. Zaczniemy od rozważania pojęcia zbioru i przy zbiorach na chwilę się zatrzymamy. Później pojawią się relacje (a przy nich między innymi definicja pary uporządkowanej, którą wprowadził Kazimierz Kuratowski), w tym oczywiście relacja równoważności, funkcje i elementy logiki matematycznej. Część tę kończą krótkie rozważania na temat dowodu matematycznego; wśród nich tak cenne: zapisywanie dowodu matematycznego wymaga wyczucia, jak dużo szczegółów należy w nim umieścić – trzeba wiedzieć, co koniecznie musi być do dowodu włączone, a co można bezpiecznie ominąć. Zbyt mało szczegółów może skutkować pominięciem istotnych części wywodu, za duża szczegółowość przysłoni jego sens. I wszędzie wprowadzenia, wyjaśnienia, przykłady, zadania do samodzielnego rozwiązania…
Ten początek zajmuje… 232 strony. To bardzo dużo. Ale tak jest dobrze: wszystko wyjaśnione jest powoli, prosto, w sposób latwy do zrozumienia. Niech więc ta objętość nie przeraża – dzięki niej naprawdę początkujący może wszystko dokładnie prześledzić i zrozumieć.
Trzecia część – Rozwój systemów aksjomatycznych – jest już nieco trudniejsza. Rozważamy kolejne zbiory liczbowe. Ale nie tylko je wprowadzamy – zastanawiamy się, dlaczego je wprowadzono. Cała matematyka zaczyna się jawić jako misterna, logiczna konstrukcja, w której każda rzecz jest tam, gdzie być powinna. Zaczynamy rozumieć, dlaczego liczby naturalne czy rzeczywiste mają akurat takie, a nie inne własności. Widzimy, że to nie dzieło przypadku – że nie mogło być inaczej. Liczby naturalne – a więc i indukcja czy algorytm Euklidesa. Liczby rzeczywiste to także ich aksjomatyka oraz konstrukcja, to one jako ciało uporządkowane zupełne. Część tę kończą liczby zespolone, solidnie opisane na trzydziestu stronach. I znowu – nie znaczy to, że będzie tam ogrom treści matematycznych. Te jednak, które będą, będą przedstawione powoli. Straszne liczby zespolone okażą się całkiem przyjazne. Trudniejsze okaże się samo wyprowadzenie konkretnych zbiorów liczbowych.
Stosowanie systemów aksjomatycznych to czwarta część książki. I tu znajdą się fragmenty prostsze (na przykład permutacje i grupy), ale także wymagające głębszego zrozumienia, jak liczby kardynalne – pojawi się nawet piękne, eleganckie twierdzenie Schrödera–Bernsteina (w Polsce nazywane najczęściej twierdzeniem Cantora-Bernsteina, czasem twierdzeniem Cantora-Bernsteina-Schrödera). Będzie też o nieskończenie małych – to tematyka rzadziej poruszana (i to też rozdział dołączony w drugim angielskim wydaniu).
Część piąta jest króciutka, lecz ważna – to Umacnianie podstaw, czyli aksjomaty teorii mnogości.
Całość kończy dodatek Jak czytać dowody – strategia „samoobojaśniania”. Dodatki to coś, co czasem czytamy, a czasem nie. W przypadku tej książki solidne przeczytanie tego dodatku – króciutkiego objętościowo – jest absolutnie niezbędne. Lara Alcock, Mark Hodds oraz Matthew Inglis z Centrum Edukacji Matematycznej Uniwersytetu Loughborough przygotowali strategię pozwalającą na podniesienie poziomu rozumienia – nie tylko matematyki. Przeprowadzono badania, z których wynika, że studenci, którzy przed czytaniem dowodu zapoznali się z tą strategią, uzyskali na późniejszym egzaminie z rozumienia dowodów wyniki lepsze o 30 punktów procentowych (!).
Rozumienie dowodów jest trudne. Wielu, wielu studentów próbuje uczyć się dowodów na pamięć – ale tak się nie da. Matematyki nie da się „wykuć”; matematykę trzeba rozumieć. Można nauczyć się na pamięć całego wykładu i nie zaliczyć egzaminu – właśnie dlatego, że materiału się nie rozumie.
A ta strategia to żadna magia czy pseudopsychologia. To jedna strona. JEDNA STRONA. Kilka krótkich, prostych informacji, co powinno się zrobić po przeczytaniu każdej linijki dowodu. Takie proste – a takie trudne. Jest też, a jakże, przykład użycia tej strategii w działaniu. Jest pokazanie, czym samoobojaśnianie różni się od monitorowania i parafrazowania (kto kiedykolwiek wykładał matematykę, odetchnie pewnie teraz głęboko i powie: „no właśnie!”, przypominając sobie, ilu studentów zamiast rozumieć – monitorowało i parafrazowało).
Książkę kończy bibliografia – niestety pozycji w języku angielskim. Troszkę szkoda. To, czego szkoda bardziej niż troszkę, to brak rozwiązań zadań zamieszczanych na końcach rozdziałów; niemal każdy czytelnik będzie chciał sprawdzić, czy dobrze rozwiązał dane zadanie. Brak też niestety starannej matematycznie redakcji i korekty – w książkach tego typu nie można sobie pozwolić na błędy; zbijają one czytelnika z tropu. Oczywiście wiem, że za merytoryczną część odpowiadają autorzy i tłumacze; są jednak błędy, które redaktor przepuścić może, a są takie, których zdecydowanie nie powinien. Takimi błędami, których przepuścić się nie powinno, są na przykład magiczna zmiana liczby π w literę p, i to nie w jednym miejscu, a w niemal wszystkich (strony 61, 147, 169), to, że A∩∅=A i wiersz niżej A∩A=A (s. 99) czy oczywiste literówki w indeksach (strony 59, 139) – oczywiste, czyli do wyłapania przez laika; nie mówię, że będzie on umiał je poprawić (choć powinien), ale wystarczy przecież zgłosić tłumaczowi, że „tu chyba jest coś nie tak”. I piszę to teraz nie jako matematyk, ale jako redaktor i korektor. Przyznam też, że zdecydowanie wolę teksty matematyczne składane w LaTeX-u – wzory są wówczas o wiele lepiej złożone. Nie bez powodu niemal żaden współczesny matematyk nie używa dobrowolnie Worda.
Nie zmienia to jednak mojej ogólnej oceny tej książki – a jest to ocena zdecydowanie pozytywna. Z rozmów ze studentami matematyki wiem, że takiej lektury bardzo brakowało. Może nie każdy przeczyta od razu wszystkie 550 stron (a jeśli ktoś studiuje nie matematykę, a inny kierunek, nie przeczyta całości niemal na pewno) – ale wcale nie ma takiej potrzeby. Już solidne przeczytanie dwóch pierwszych części, przewertowanie reszty i solidne przeanalizowanie dodatku da bardzo dużo. A do dalszych części zawsze można wrócić nieco później. Można – a może wręcz należy, bo dla początkującego mogą okazać się za trudne. Do pewnego momentu można opowiadać prosto, ale potem nawet w lekkiej pozycji muszą pojawić się coraz trudniejsze fragmenty. I tu też trudniejsze fragmenty są. Dla jednej osoby będą to trudniejsze fragmenty, dla drugiej – trudniejsze całe części. Warto jednak się z tą książką zmierzyć.
Recenzja wyszła o wiele dłuższa, niż się spodziewałam. Napiszę więc krótko: jeśli zaczynasz studia matematyczne – sięgnij po Podstawy matematyki. Jeśli ktoś z Twojej rodziny lub spośród znajomych je zaczyna – wręcz mu tę książkę. Na studiach matematycznych będzie zdecydowanie łatwiej. Wielu przyszłych studentów we wrześniu wpada w stan lekkiej paniki i chodzi na różne kursy doszkalające. Zamiast tego – polecam przeczytać tę książkę lub choćby pierwszą jej połowę. Zaręczam, że da tyle samo – a może i o wiele, wiele więcej.
